Clebsch-Gordan Koeffizienten

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Inhaltsverzeichnis

Features

Definition

Die Clebsch-Gordan Koeffizienten dienen in der Quantenphysik zur Drehimpulskopplung. Zwei Drehimpulse und werden prinzipiell durch einen Produktzustand beschrieben. Oft ist es jedoch zweckmäßig, die beiden Drehimpulse zu einem gemeinsamen Gesamtdrehimpulszustand zu koppeln. Die beiden neuen Quantenzahlen sind durch die Relationen und bestimmt bzw. eingeschränkt. Die Clebsch-Gordan Koeffizienten benötigt man, um Produktzustände in die Gesamtdrehimpulszustände umzurechnen und umgekehrt. Diese Umrechnung ist definiert als

Für die Clebsch-Gordan Koeffizienten lassen sich zahlreiche Bedingungen und Rekursionsrelationen ableiten. Zum Beispiel bilden sie eine unitäre Transformation (es handelt sich schließlich um eine Transformation einer Orthonormalbasis in eine andere). Wählt man (wie ich es getan habe) so sind alle Clebsch-Gordan Koeffizienten reell.

Für weitere Informationen siehe z.B.
Clebsch-Gordan Coefficient @ MathWorld
Clebsch-Gordan coefficients @ Wikipedia

Eingabe

Sie können in die Felder neben ganzzahligen Werten natürlich auch halbzahlige eingeben. Verwenden Sie dabei bitte Schrägstriche (z.B. 1/2) und keine Dezimalzahlen.

Funktion Clebsch-Gordan-Koeffizienten

Geben Sie einfach alle Drehimpulsquantenzahlen ein und klicken Sie auf Berechnen. Die Ausgabe beinhaltet sowohl die geschlossene Wurzelform als auch eine numerische Approximation.

Funktion Clebsch-Gordan-Tabellen

Mit dieser Funktion können Sie übersichtliche Tabellen aller Clebsch-Gordan Koeffizienten für die Kopplung zweier Drehimpulsquantenzahlen (j1, j2) erstellen. Die Tabellen sind folgendermaßen zu lesen:

(j1, j2) j j'
m m
m1 m2 * *
m1' m2' * *

Die ersten beiden Zellen jeder Spalte enthalten die Gesamtdrehimpulsquantenzahlen j und m, deren Clebsch-Gordan Koeffizienten in der Spalte aufgelistet sind. Die ersten beiden Zellen jeder Zeile enthalten die Einzeldrehimpulsquantenzahlen m1 und m2, deren Clebsch-Gordan Koeffizienten in der Zeile aufgelistet sind. Suchen Sie etwa den Clebsch-Gordan Koeffizienten so nehmen Sie die Tabelle für die Quantenzahlen (2, 1) und suchen darin zuerst die Spalte, die in der obersten Zelle 1 (=j) und in der zweiten Zelle 0 (=m) enthält. Dann suchen Sie die Zeile, die in der ersten Zelle 1 (=m1) und in der zweiten Zele -1 (=m2) enthält. Wo sich diese Zeile mit der zuvor bestimmten Spalte schneidet steht eine Zahl. Ist diese Zahl positiv ist sie das Quadrat des gesuchten Clebsch-Grodan Koeffizienten (es wurde einfach das Wurzelsymbol unterdrückt, um die Tabelle leserlicher zu machen). Ist die Zahl negativ ist auch der zugehörige Clebsch-Gordan Koeffizient negativ und zwar die negative Wurzel aus dem Betrag der angegebenen Zahl. Ein Beispiel sollte das verständlicher machen:

Funktion Wellenfunktionen

Geben Sie einfach alle Quantenzahlen, die den Gesamtdrehimpulszustand beschreiben, ein und klicken Sie auf Berechnen. Die Ausgabe gibt Ihnen die Zerlegung des Gesamtdrehimpulszustands in einzelne Produktzustände an.

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