Differentialgleichungen

Im Rahmen meiner Mathematikmatura schrieb ich eine Fachbereichsarbeit (kurz FBA) über Differentialgleichungen. Der vollständige Titel lautet: Exakte Lösungen gewöhnlicher Differentialgleichungen und Differentialgleichungssysteme in Naturwissenschaft und Technik (anhand ausgewählter Beispiele).

Im Anschluss stehen sowohl die komplette FBA im PDF-Format sowie die Kapitel einzeln (ebenfalls im PDF-Format) zum Download bereit.

fba.pdf (632 KB, 73 Seiten)

Abstract:
Diese Datei enthält meine komplette FBA. Sie entspricht sowohl im Inhalt als auch im Inhaltsverzeichnis exakt den unten angeführten einzelnen Teilen.

  1. Deckblatt
  2. Inhaltsverzeichnis
  3. 1
    Vorwort

fba_1.pdf (63 KB, 4 Seiten)

Abstract:
Diese Datei enthält den Anfang meiner FBA, einschließlich des Vorworts. Hier sind noch keine relevanten mathematischen Ausführungen enthalten, es wird lediglich beschrieben, wie ich zu dem Thema kam und was mich besonders daran interessiert hat.

  1. 2
    Was sind Differentialgleichungen
    1. 2.1
      Verwendung und Zweck von Differentialgleichungen
    2. 2.2
      Begriffsdefinitionen
      1. 2.2.1
        Ordnung
      2. 2.2.2
        Grad
      3. 2.2.3
        Homogene und inhomogene Differentialgleichung
      4. 2.2.4
        Anfangswertproblem
      5. 2.2.5
        Integral einer Differentialgleichung
      6. 2.2.6
        Richtungsfeld
      7. 2.2.7
        Trajektorien

fba_2.pdf (84 KB, 5 Seiten)

Abstract:
Dieses Kapitel gibt eine einfache Einführung in Differentialgleichungen. Es werden noch keine konkreten Probleme gelöst bzw. Lösungsmethoden vorgestellt. Es dient lediglich der Erklärung, was Differentialgleichungen sind und wo sie in der Praxis eingesetzt werden, sowie der Definition einiger in den folgenden Kapiteln benötigter Begriffe.

  1. 3
    Differentialgleichungen erster Ordnung
    1. 3.1
      Ein Einführungsbeispiel
    2. 3.2
      Differentialgleichungen der Form dy/dx=g(x)h(y)
      1. 3.2.1
        Das allgemeine Lösungsverfahren
      2. 3.2.2
        Existenz
      3. 3.2.3
        Eindeutigkeit
    3. 3.3
      Differentialgleichungen der Form
      dy/dx=g(ax+by+c)
    4. 3.4
      Differentialgleichungen der Form dy/dx=g(y/x)
    5. 3.5
      Differentialgleichungen der Form
      dy/dx=g((ax+by+c)/(αx+βy+γ))
    6. 3.6
      Das allgemeine Lösungsverfahren für Differentialgleichungen erster Ordnung
    7. 3.7
      Grafische Verfahren
    8. 3.8
      Anwendungsbeispiele
      1. 3.8.1
        Der radioaktive Zerfall
      2. 3.8.2
        Altersbestimmung mittels 14C

fba_3.pdf (172 KB, 17 Seiten)

Abstract:
In diesem Kapitel werden Differentialgleichungen erster Ordnung behandelt. Neben einem Einführungsbeispiel, anhand dessen eine Lösungsmethode für eine spezielle Klasse von Differentialgleichungen erarbeitet und diskutiert wird, werden die Lösungsmethoden für die häufigsten Formen von Differentialgleichungen erster Ordnung vorgestellt. Außerdem wird ein allgemeines Verfahren zur Lösung vorgestellt (und für einen Fall auch hergeleitet) und auch Grafische Verfahren werden besprochen.
Den Abschluss bildet ein Block mit Anwendungsbeispielen, anhand derer die zuvor vorgestellten Lösungsverfahren in der Praxis angewendet werden.

  1. 4
    Differentialgleichungen zweiter Ordnung
    1. 4.1
      Ein Einführungsbeispiel
    2. 4.2
      Hilfsbeweise
      1. 4.2.1
        Jedes Vielfache einer Lösung der Differentialgleichung ist wieder eine Lösung
      2. 4.2.2
        Jede Linearkombination zweier Lösungen der Differentialgleichung ist wieder eine Lösung
    3. 4.3
      Das allgemeine Lösungsverfahren für Differentialgleichungen zweiter Ordnung
      1. 4.3.1
        Homogene Differentialgleichungen zweiter Ordnung
      2. 4.3.2
        Existenz und Eindeutigkeit
      3. 4.3.3
        Inhomogene Differentialgleichungen zweiter Ordnung
    4. 4.4
      Anwendungsbeispiele
      1. 4.4.1
        Das Feder-Masse-System
      2. 4.4.2
        Schwebung (des Feder-Masse-Systems)
      3. 4.4.3
        Resonanz (des Feder-Masse-Systems)

fba_4.pdf (135 KB, 16 Seiten)

Abstract:
In diesem Kapitel werden Differentialgleichungen zweiter Ordnung behandelt. Begonnen wird dabei wieder mit einem Einführungsbeispiel, das einige wesentliche Punkte von Differentialgleichungen zweiter Ordnung klar machen soll. Danach folgt der Beweis zweier (relativ einfacher) Hilfssätze, die in weiterer Folge essentiell werden. Danach wird zuerst das Lösungsverfahren für homogene, anschließend das für inhomogene Differentialgleichungen zweiter Ordnung hergeleitet.
Den Abschluss bilden wieder Anwendungsbeispiele. Dabei werden einige wesentliche Eigenschaften einer Schwingung (eines Feder-Masse-Systems) mit Differentialgleichungen beschrieben, die anschließend gelöst werden.

  1. 5
    Differentialgleichungssysteme
    1. 5.1
      Was sind Differentialgleichungssysteme
    2. 5.2
      Begriffsdefinitionen und Hilfsbeweise
      1. 5.2.1
        Lineare Abhängigkeit
      2. 5.2.2
        Eigenwert und Eigenvektor
    3. 5.3
      Ein Einführungsbeispiel
    4. 5.4
      Die allgemeine Lösung des homogenen Systems
    5. 5.5
      Fundamentalmatrizen und die Lösung von Anfangswertproblemen
    6. 5.6
      Die Lösung durch Diagonalisieren
    7. 5.7
      Inhomogene Differentialgleichungssysteme
      1. 5.7.1
        Lösung von separaten Differentialgleichungen
      2. 5.7.2
        Variation der Parameter
    8. 5.8
      Grafische Verfahren
    9. 5.9
      Anwendungsbeispiele
      1. 5.9.1
        Der Schwingkreis
      2. 5.9.2
        Das Räuber-Beute Modell
      3. 5.9.3
        Epidemien

fba_5.pdf (418 KB, 28 Seiten)

Abstract:
In diesem Kapitel werden Differentialgleichungssysteme behandelt. Am Anfang steht dabei eine allgemeine Einführung in Differentialgleichungssysteme und ihre Matrizendarstellung. Danach folgen Begriffsdefinitionen und Hilfsbeweise, die sich vor allem auf die Matrizenrechnung beziehen. Nach einem Einführungsbeispiel, das einen gewissen praktischen Einblick in das Lösen von Differentialgleichungssystemen geben soll, wird das Lösen homogener Systeme allgemein besprochen. Dabei werden drei verschiedene Verfahren behandelt, die auf sehr unterschiedliche Arten zur Lösung kommen.
Danach folgt eine Einführung in inhomogene Differentialgleichungssysteme und deren Lösung. Dabei wird auf natürliche Weise auf grafische Verfahren übergeleitet.
Den Abschluss bilden auch in diesem Kapitel wieder einige interessant Anwendungsbeispiele, die die praktische Anwendung der verschiedenen Lösungsverfahren demonstrieren sollen.

  1. 6
    Nachwort
  2. Abbildungsverzeichnis
  3. Literaturverzeichnis

fba_6.pdf (54 KB, 3 Seiten)

Abstract:
Diese Datei bildet den Abschluss meiner FBA. Sie enthält neben dem Nachwort noch zwei Tabellen: das Abbildungsverzeichnis sowie ein Literatur- bzw. Quellenverzeichnis.

Hinweis: Die Summe der Dateigrößen der 6 Einzeldateien beträgt 926 KB, also 294 KB (oder 46,5%) mehr als die 1 komplette Datei!